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http://repositorio.utfpr.edu.br/jspui/handle/1/39308| Título: | Quadrados perfeitos e números p-ádicos: aplicações ao ensino e à questão 6 da IMO de 1988 |
| Título(s) alternativo(s): | Perfect squares and p-adic numbers: applications to teaching and to IMO 1988 Problem 6 |
| Autor(es): | Gomes, Izabella Vianna |
| Orientador(es): | Dario, Ronie Peterson |
| Palavras-chave: | Números p-adic Matemática - Estudo e ensino Equações diofantinas Pitágoras, Teorema de Matemática - Competições P-adic numbers Mathematics - Study and teaching Diophantine equations Pythagorean theorem Mathematics - Competitions |
| Data do documento: | 25-Nov-2025 |
| Editor: | Universidade Tecnológica Federal do Paraná |
| Câmpus: | Curitiba |
| Citação: | GOMES, Izabella Vianna. Quadrados perfeitos e números p-ádicos: aplicações ao ensino e à questão 6 da IMO de 1988. 2026. Dissertação (Mestrado em Matemática em Rede Nacional) - Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Curitiba, 2025. |
| Resumo: | Este trabalho propõe um método para resolver problemas de olimpíadas de matemática que envolvem quadrados perfeitos, de forma a superar a limitação inerente ao método da contradição modular, o qual apenas verifica a não existência de soluções. Desenvolvemos uma abordagem baseada no princípio local-global, utilizando números p-ádicos e o Teorema de Grunwald-Wang para estabelecer condições que garantam quando um número inteiro é um quadrado perfeito. O método é aplicado à histórica Questão 6 da IMO de 1988, oferecendo uma solução alternativa às abordagens tais como Vieta Jumping e Descida Infinita de Fermat . Além das contribuições teóricas, o trabalho inclui propostas didáticas para o ensino básico, com atividades investigativas sobre números 2-ádicos e datas pitagóricas, mostrando como conceitos matemáticos avançados podem ser acessíveis a estudantes da educação básica. Os resultados indicam a viabilidade de integrar teoria dos números com educação matemática, apontando caminhos para aplicações em outros problemas olímpicos. |
| Abstract: | This dissertation proposes a method for solving mathematical olympiad problems involving perfect squares, aiming to overcome the inherent limitation of the modular contradiction method, which only verifies the non-existence of solutions. We developed an approach based on the local–global principle, using p-adic numbers and the Grunwald–Wang theorem to establish conditions that guarantee when an integer is a perfect square. The method is applied to the historic Problem 6 of the 1988 IMO, offering an alternative solution to approaches such as Vieta Jumping and Fermat’s Infinite Descent. Beyond the theoretical contributions, the work includes didactic proposals for basic education, with investigative activities on 2-adic numbers and Pythagorean dates, demonstrating how advanced mathematical concepts can be made accessible to basic education students. The results indicate the feasibility of integrating number theory with mathematics education, pointing toward applications in other olympiad problems. |
| URI: | http://repositorio.utfpr.edu.br/jspui/handle/1/39308 |
| Aparece nas coleções: | CT - Programa de Pós-Graduação em Matemática em Rede Nacional |
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