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http://repositorio.utfpr.edu.br/jspui/handle/1/39047| Título: | Exploração das configurações do cubo mágico utilizando a teoria de grupos |
| Título(s) alternativo(s): | Exploration of rubik’s cube configurations using group theory |
| Autor(es): | Liberato Neto, Nilson |
| Orientador(es): | Vinciguerra, Robson Willians |
| Palavras-chave: | Cubo mágico Teoria dos grupos Álgebra abstrata Matemática recreativa Rubik's cube Group theory Algebra, Abstract Mathematical recreations |
| Data do documento: | 8-Jul-2025 |
| Editor: | Universidade Tecnológica Federal do Paraná |
| Câmpus: | Toledo |
| Citação: | LIBERATO NETO, Nilson. Exploração das configurações do cubo mágico utilizando a teoria de grupos. 2025. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) - Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Toledo, 2025. |
| Resumo: | Este trabalho investiga o Cubo Mágico sob a ótica da Teoria de Grupos, buscando compreender suas configurações e movimentos por meio de conceitos da álgebra abstrata. Inicialmente, são apresentados os fundamentos do Cubo Mágico, incluindo sua estrutura, tipos de peças e notações usuais. Em seguida, é introduzida a Teoria de Grupos com definições, exemplos e aplicações voltadas à compreensão dos movimentos do cubo como elementos de um grupo. Com base nisso, estuda-se o grupo simétrico, a representação de permutações por ciclos e como essas ferramentas facilitam a descrição dos movimentos do cubo. O trabalho também aborda homomorfismos, como o homomorfismo sinal, que ajuda a classificar permutações como pares ou ímpares, e a ação de grupos, essencial para entender as transformações possíveis no cubo. Ao final, obtém-se como principal resultado a caracterização matemática das configurações válidas do Cubo Mágico por meio de 4-uplas (σ, τ, x, y), estabelecendo que uma configuração é alcançável se, e somente se, as permutações tiverem a mesma paridade, a soma das orientações dos cantos for congruente a 0 (mod 3) e a soma das orientações das arestas for congruente a 0 (mod 2). O trabalho também apresenta exemplos ilustrativos e adaptações didáticas para facilitar o entendimento dos conceitos por estudantes de graduação. |
| Abstract: | This work investigates the Rubik’s Cube through the lens of Group Theory, aiming to understand its configurations and movements using concepts from abstract algebra. It begins by presenting the fundamentals of the Rubik’s Cube, including its structure, types of pieces, and standard notations. Then, Group Theory is introduced with definitions, examples, and applications focused on interpreting cube movements as elements of a group. The study explores the symmetric group, the representation of permutations by cycles, and how these tools help describe the cube’s movements. It also addresses homomorphisms, such as the sign homomorphism, which classifies permutations as even or odd, and group actions, which are essential to understanding the possible transformations of the cube. As a main result, the work provides a mathematical characterization of valid Rubik’s Cube configurations using 4-tuples (σ, τ, x, y), establishing that a configuration is achievable if and only if the permutations have the same parity, the sum of the corner orientations is congruent to 0 (mod 3), and the sum of the edge orientations is congruent to 0 (mod 2). The study also includes illustrative examples and didactic adaptations to support undergraduate students’ understanding of the concepts. |
| URI: | http://repositorio.utfpr.edu.br/jspui/handle/1/39047 |
| Aparece nas coleções: | TD - Licenciatura em Matemática |
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