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http://repositorio.utfpr.edu.br/jspui/handle/1/36162| Título: | Avaliação de uma nova classe de funções de enriquecimento polinomial no âmbito do método generalizado de elementos finitos |
| Título(s) alternativo(s): | Evaluation of a new class of polynomial enrichment functions within the generalized finite element method |
| Autor(es): | Costa, Guilherme Bertolassi da |
| Orientador(es): | Torres, Diego Amadeu Furtado |
| Palavras-chave: | Método dos elementos finitos Polinômios Elasticidade Finite element method Polynomials Elasticity |
| Data do documento: | 16-Dez-2024 |
| Editor: | Universidade Tecnológica Federal do Paraná |
| Câmpus: | Londrina |
| Citação: | COSTA, Guilherme Bertolassi da. Avaliação de uma nova classe de funções de enriquecimento polinomial no âmbito do método generalizado de elementos finitos. 2024. Trabalho de Conclusão de Curso (Bacharelado em Engenharia Mecânica) - Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Londrina, 2025. |
| Resumo: | O Método Generalizado de Elementos Finitos (MGEF) tem como objetivo construir soluções aproximadas para problemas de valores de contorno, utilizando como base um conjunto de funções de compatibilidade denominadas partições da unidade (PU) e o produto destas por funções de enriquecimento. Dentre suas principais vantagens estão a utilização de malhas parcial ou completamente independentes da geometria do domínio e a possibilidade de incorporação de funções de enriquecimento de qualquer classe, via enriquecimento extrínseco, ou seja, incorporando novas incógnitas nodais. A principal desvantagem do método é o mal condicionamento das matrizes de rigidez geradas no processo de construção do sistema de equações algébricas, que culmina em uma deterioração da estabilidade e capacidade de convergência da aproximação, quando aplicando refinos de malha ou promovendo um enriquecimento polinomial hierárquico. O objetivo deste trabalho foi analisar o impacto da inserção de uma nova classe de funções de enriquecimento polinomial, os polinômios de Legendre, em oposição às funções tipicamente e historicamente empregadas no método, os monômios de Duarte. Este trabalho se ateve a problemas de elasticidade linear unidimensional. A comparação entre as duas classes foi feita utilizando três categorias de carregamentos, para os quais se conhece a solução analítica, cada uma conduzindo a uma diferente dificuldade aproximativa. Utilizaram-se como critérios comparativos os erros relativos referentes à energia de deformação total da solução aproximada, norma energia e norma de Lebesgue da solução em deslocamento, além do acompanhamento do número de condição das matrizes geradas em diferentes estágios do desenvolvimento da solução. Foram empregados refinos uniformes de malha, assim como enriquecimento polinomial hierárquico aplicado em toda malha, numa primeira abordagem. Em um segundo momento, o enriquecimento polinomial foi aplicado em conjunto com um enriquecimento especial localizado. A nova classe de funções provocou erros relativos que evoluíram com comportamento semelhante ao dos monômios de Duarte, mas com valores pontuais em geral maiores. Além disso, não houve ganho na estabilidade da solução por meio da redução do número de condição das matrizes geradas, pelo menos para a forma como foram impostas as condições de contorno essenciais. |
| Abstract: | The Generalized Finite Element Method (GFEM) aims to create approximate solutions to boundary value problems by using compatibility functions known as partition of unity (Pou) and the product of these by the enrichment functions. Among its main advantages are the usage of meshes that are partially or completely independent of the domain geometry and the ability to incorporate enrichment functions of any class via extrinsic enrichment, i.e., incorporating new nodal unknowns. However, the method's main disadvantage is the poor conditioning of the matrices generated in the process of constructing the system of algebraic equations, leading to a decrease in the stability and convergence capacity of the approximation. This study aimed to analyze the impact of introducing a new class of polynomial enrichment functions, the Legendre polynomials, as opposed to the historically employed Duarte monomials in the method. The analysis focused on one-dimensional linear elasticity problems. A comparison between the two classes was made using three categories of loads, for which the analytical solution is known, each one leading to a different approximation challenge. The comparison criteria included the relative errors related to the total strain energy of the approximate solution, energy norm and the Lebesgue norm of the displacement solution. Additionally, the condition number of the matrices generated at different stages of solution development was monitored. Uniform mesh refinements were employed, and hierarchical polynomial enrichment was applied to the entire mesh, in a first approach. In the second stage, polynomial enrichment was used in conjunction with localized special enrichment. The new class of enrichment functions exhibited relative errors that followed a similar trend to those of the Duarte monomials, albeit generally with higher values. Furthermore, there was no gain in the solution’s stability by lowering the condition number of the generated matrices, at least under the chosen method of imposing essential boundary conditions. |
| URI: | http://repositorio.utfpr.edu.br/jspui/handle/1/36162 |
| Aparece nas coleções: | LD - Engenharia Mecânica |
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